Extremwertaufgabe - ein komplexes Beispiel

Aus einem rechteckigen Stück Glas ( gelbe Fläche ) mit Länge k > 1
und Breite 3 ist ein Stück herausgebrochen. Die Bruchkante ist eine Parabel,
die für x = 0 eine waagerechte Tangente besitzt.

a) Wie lautet die Gleichung der Parabel

b) In welchen Fällen besitzt das blaue Rechteck maximalen Inhalt

> restart;
> with(plots):
> assume(k>1);
> p:=(x,k)->((k-1)/9)*x^2+1;

p := proc (x, k) options operator, arrow; 1/9*(k-1)...

> Glas:=[[0,0],[3,0],[3,2],[0,2]];

Glas := [[0, 0], [3, 0], [3, 2], [0, 2]]

> u:=p(2,2);

u := 13/9

> Flaeche:=[[2,0],[3,0],[3,u],[2,u]];

Flaeche := [[2, 0], [3, 0], [3, 13/9], [2, 13/9]]

> pf:=plots[polygonplot](Flaeche,color=blue,style=patch):
> pg:=plots[polygonplot](Glas,color=yellow,style=patch):
> pp:=plot(p(x,2),x=0..3,y=0..3,color=red,thickness=3):
> display({pg,pf,pp},axes=framed);

[Maple Plot]

oben : Der Plot zum Problem
unten : die Flächenfunktion

> z:=(x,k)->(3-x)*(((k-1)/9)*x^2+1);

z := proc (x, k) options operator, arrow; (3-x)*(1/...

> z1:=unapply(simplify(diff(z(x,k),x)),(x,k));

z1 := proc (x, k) options operator, arrow; -1/3*x^2...

> z2:=unapply(simplify(diff(z1(x,k),x)),(x,k));

z2 := proc (x, k) options operator, arrow; -2/3*k*x...

> solve(z1(x,k)=0,x);

1/2/(k-1)*(2*k-2+2*sqrt(k^2-5*k+4)), 1/2/(k-1)*(2*k...

> l1:=1/2*(-2+2*k+2*sqrt(4-5*k+k^2))/(k-1);

l1 := 1/2/(k-1)*(2*k-2+2*sqrt(k^2-5*k+4))

> loesung1:=simplify(l1);

loesung1 := (k-1+sqrt(k^2-5*k+4))/(k-1)

> l2:=1/2*(-2+2*k-2*sqrt(4-5*k+k^2))/(k-1);

l2 := 1/2/(k-1)*(2*k-2-2*sqrt(k^2-5*k+4))

> loesung2:=simplify(l2);

loesung2 := (k-1-sqrt(k^2-5*k+4))/(k-1)

> Loes1:=unapply(loesung1,k);

Loes1 := proc (k) options operator, arrow; (k-1+sqr...

> Loes2:=unapply(loesung2,k);

Loes2 := proc (k) options operator, arrow; (k-1-sqr...

Fall 1 : k = 3 , kein Kandidat für relative Extremwerte, warum ?

> x1:=Loes1(3);

x1 := 1+1/2*sqrt(-2)

> x2:=Loes2(3);

x2 := 1-1/2*sqrt(-2)

daher muß das Maximum am Rand liegen :

> 'z(0,3)'=z(0,3);

z(0,3) = 3

> 'z(3,3)'=z(3,3);

z(3,3) = 0

also liegt das Maximum bei x = 0

Fall 2 : k = 4, nur ein Kandidat, denn :

> x1:=Loes1(4);

x1 := 1

> x2:=Loes2(4);

x2 := 1

> 'z(0,4)'=z(0,4);

z(0,4) = 3

> 'z(3,4)'=z(3,4);

z(3,4) = 0

> 'z(1,4)'=z(1,4);

z(1,4) = 8/3

also liegt das Maximum wieder am Rand, bei x = 0
( Warum ist x = 1 keine Lösung ? )

Fall 3 : k = 5

> x1:=simplify(Loes1(5));

x1 := 3/2

> x2:=simplify(Loes2(5));

x2 := 1/2

> 'z2(x1,5)'=z2(x1,5);

z2(x1,5) = -4/3

> 'z(x1,5)'=z(x1,5);

z(x1,5) = 3

also liegt bei x1 ein relatives Maximum vor

> 'z(0,5)'=z(0,5);

z(0,5) = 3

also sind x = 0 ( Randwert ) und x1 ( lokal ) globale Maxima und
damit Lösungen des Problems

> 'z2(x2,5)'=z2(x2,5);

z2(x2,5) = 4/3

> 'z(x2,5)'=z(x2,5);

z(x2,5) = 25/9

also ist x2 relatives Minimum.

Fall 4 : k = 10

> x1:=simplify(Loes1(10));

x1 := 1+1/3*sqrt(6)

> x2:=simplify(Loes2(10));

x2 := 1-1/3*sqrt(6)

> 'z2(x1,10)'=z2(x1,10);

z2(x1,10) = -2*sqrt(6)

> 'z(x1,10)'=simplify(z(x1,10));

z(x1,10) = -2/9*(-6+sqrt(6))*(4+sqrt(6))

> xmax:=evalf(x1);

xmax := 1.816496581

> ymax:=evalf(simplify(z(x1,10)));

ymax := 5.088662106

> 'z2(x2,10)'=z2(x2,10);

z2(x2,10) = 2*sqrt(6)

> 'z(x2,10)'=simplify(z(x2,10));

z(x2,10) = -2/9*(6+sqrt(6))*(-4+sqrt(6))

> xmin:=evalf(x2);

xmin := .1835034191

> ymin:=evalf(simplify(z(x2,10)));

ymin := 2.911337891

> 'z(0,10)'=z(0,10);

z(0,10) = 3

> 'z(3,10)'=z(3,10);

z(3,10) = 0

also liegt im Fall k = 10 an der Stelle xmax das relative und gleichzeitig globale Maximum

> pp3:=plot(z(x,3),x=0..3,y=0..6,color=blue,thickness=2):
> pp4:=plot(z(x,4),x=0..3,y=0..6,color=blue,thickness=2):
> pp5:=plot(z(x,5),x=0..3,y=0..6,color=blue,thickness=2):
> pp10:=plot(z(x,10),x=0..3,y=0..6,color=blue,thickness=2):
> display({pp3,pp4,pp5,pp10},axes=framed);

[Maple Plot]

oben : die Funktionenschar für die betrachteten Fälle

Jetzt alle Fälle mit Rechteck :

1. k = 3

> o:=p(0,3);

o := 1

> Flmax:=[[0,0],[3,0],[3,o],[0,o],[0,0]];

Flmax := [[0, 0], [3, 0], [3, 1], [0, 1], [0, 0]]

> Glas:=[[0,0],[3,0],[3,3],[0,3]];

Glas := [[0, 0], [3, 0], [3, 3], [0, 3]]

> pfmax:=plots[polygonplot](Flmax,color=blue,style=patch):
> pg:=plots[polygonplot](Glas,color=yellow):
> p3:=plot(z(x,3),x=0..3,y=0..6,color=red,thickness=2):
> pp:=plot(p(x,3),x=0..3,y=0..6,color=black,thickness=2):
> display({pfmax,pg,p3,pp},axes=framed);

[Maple Plot]

2. k = 4

> o:=p(0,4);

o := 1

> Flmax:=[[0,0],[3,0],[3,o],[0,o],[0,0]];

Flmax := [[0, 0], [3, 0], [3, 1], [0, 1], [0, 0]]

> Glas:=[[0,0],[3,0],[3,4],[0,4]];

Glas := [[0, 0], [3, 0], [3, 4], [0, 4]]

> pfmax:=plots[polygonplot](Flmax,color=blue,style=patch):
> pg:=plots[polygonplot](Glas,color=yellow):
> p3:=plot(z(x,4),x=0..3,y=0..6,color=red,thickness=2):
> pp:=plot(p(x,4),x=0..3,y=0..6,color=black,thickness=2):
> display({pfmax,pg,p3,pp},axes=framed);

[Maple Plot]

3. k = 5

> o:=p(3/2,5);

o := 2

> Flmax:=[[3/2,0],[3,0],[3,o],[3/2,o],[3/2,0]];

Flmax := [[3/2, 0], [3, 0], [3, 2], [3/2, 2], [3/2,...

> o:=p(0,5);

o := 1

> Flmax1:=[[0,0],[3,0],[3,o],[0,o],[0,0]];

>

Flmax1 := [[0, 0], [3, 0], [3, 1], [0, 1], [0, 0]]

> Glas:=[[0,0],[3,0],[3,5],[0,5]];

Glas := [[0, 0], [3, 0], [3, 5], [0, 5]]

> pg:=plots[polygonplot](Glas,color=yellow,style=patch):
> pfmax:=plots[polygonplot](Flmax,color=blue,style=patch):
> p3:=plot(z(x,5),x=0..3,y=0..6,color=red,thickness=2):
> pp:=plot(p(x,5),x=0..3,y=0..6,color=black,thickness=2):
> pfmax1:=plots[polygonplot](Flmax1,color=red,style=line,thickness=3):
> display({pg,pfmax1,pfmax,p3,pp},axes=framed);

[Maple Plot]

4. k = 10

> o:=p(1+1/3*sqrt(6),10);

o := (1+1/3*sqrt(6))^2+1

> Flmax:=[[1+1/3*sqrt(6),0],[3,0],[3,o],[1+1/3*sqrt(6),o]];

Flmax := [[1+1/3*sqrt(6), 0], [3, 0], [3, (1+1/3*sq...

> Glas:=[[0,0],[3,0],[3,10],[0,10]];

Glas := [[0, 0], [3, 0], [3, 10], [0, 10]]

> pfmax:=plots[polygonplot](Flmax,color=blue,style=patch):
> pg:=plots[polygonplot](Glas,color=yellow):
> p3:=plot(z(x,10),x=0..3,y=0..10,color=red,thickness=2):
> pp:=plot(p(x,10),x=0..3,y=0..10,color=black,thickness=2):
> display({pfmax,pg,p3,pp},axes=framed);

[Maple Plot]